偏微分の変数変換
座標を$\{x_{i}\}_{i}$から$\{y_{j}\}_{j}$に取り替えた時の偏微分の変換は、
$$ \frac{\partial f}{\partial y_{j}} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\frac{\partial x_{i}}{\partial y_{j}} $$
と書かれることが多い。
この公式を見つめると、次のことが気になる。
- 座標の変換によって変化しない$x_{i}$はどう扱われているのか。
- 座標の変換によって座標の次元が変化するとどうなるのか。
これについて考察する。
固定される変数
$$ f(x, y) = \sqrt{x^{2}+y^{2}} $$
では、$x$で偏微分するときは$y$を固定する。
この記事では、これを明示するために、
$$ \left[\frac{\partial f}{\partial x}\right]_{y} $$
と書く。これは、大括弧の右下に書く変数が固定されているという意味である。
座標変換
座標が$\{x_{i}\}_{i}$から$\{y_{j}\}_{j}$に変わった時は、
$$ \left[\frac{\partial f}{\partial y_{a}}\right]_{y_{j} \ (j \neq a)} = \left[\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right] _{x_{i} \ (i \neq k)} \left[\frac{\partial x_{k}}{\partial y_{a}}\right]_{y_{j} \ (j \neq a)} $$
と変換される。ここで、
- 座標の変換によって変化しない$x_{i}$があってもよい。
- 座標の変換によって座標の次元が変化してもよい。
偏微分に固定されていない変数が含まれる時
二変数関数の偏微分
$$ \left[\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)\right]_{z} $$
を考える。$y$が固定されていないので、普通に計算できない。
この場合は、
$$ \left[\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)\right]_{z} = \left[\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)\right]_{y}\left[\frac{\partial x}{\partial x}\right]_{z} + \left[\frac{\partial}{\partial y}f(x, y)\right]_{x}\left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{z} $$
というように、固定する変数を変更して計算する。
chain ruleでも同じような式が出てきた。
$$ \frac{\partial f}{\partial y_{j}} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\frac{\partial x_{i}}{\partial y_{j}} $$
の$\frac{\partial x_{i}}{\partial y}$では、固定する変数を変えていたのだ。
例
$$ f(x, y) = log\sqrt{x^{2}+y^{2}} $$
を考える。
$r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$とおくと、
$$ f(r) = \log r $$
と一変数関数になる。
よって、$x$で一回偏微分すると、
$$ \begin{aligned} \left[\frac{\partial f}{\partial x}\right]_{y} &= \frac{df}{dr}\left[\frac{\partial r}{\partial x}\right]_{y} \\ &= \frac{1}{r}\frac{x}{r} \\ &= \frac{x}{r^{2}} \end{aligned} $$
$$ \left[\frac{\partial f}{\partial r}\right] = \frac{df}{dr} $$
を用いた。
もう一度、$x$で偏微分すると、
$$ \begin{aligned} \left[\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^{2}}\right]_{y} &= \left[\frac{\partial}{\partial r}\frac{x}{r^{2}}\right]_{x}\left[\frac{\partial r}{\partial x}\right]_{y} + \left[\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^{2}}\right]_{r}\left[\frac{\partial x}{\partial x}\right]_{y} \\ &= -\frac{2x}{r^{3}}\frac{x}{r}+\frac{1}{r^{2}}1 \\ &= -\frac{2x^{2}}{r^{4}} + \frac{1}{r^{2}} \end{aligned} $$
$y$で偏微分すると、
$$ \begin{aligned} \left[\frac{\partial}{\partial y} \frac{x}{r^{2}}\right]_{x} &= \left[\frac{\partial}{\partial r}\frac{x}{r^{2}}\right]_{x}\left[\frac{\partial r}{\partial y}\right]_{x} + \left[\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^{2}}\right]_{r}\left[\frac{\partial x}{\partial y}\right]_{x} \\ &= -\frac{2x}{r^{3}}\frac{y}{r}+\frac{1}{r^{2}}0 \\ &= -\frac{2xy}{r^{4}} \end{aligned} $$
$\left[\frac{\partial}{\partial y} \frac{x}{r^{2}}\right]_{x} \neq 0$に注意。$x$は固定されているが、$r$が固定されていない。
