双対空間と計量テンソル
双対空間については前回の記事を参照。
この記事では前回の記事と同様に、
- $V$: n次元ベクトル空間
- $V^{*}$: Vの双対空間
- $\mathbb{R}^{n}$: n次元実数ベクトル空間
- $E = \{e_{i}\}_{i=1 \dots n}$: $\mathbb{R}^{n}$の自然な基底
とする。
また、前回の記事で定義した、
- $V$の基底$W=\{w_{i}\}_{i=1 \dots n}$
- 同型写像$\pi_{W}: V \to \mathbb{R}^{n}$
- 同型写像$\phi: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n*}$
- 同型写像$\pi^{*}_{W}: \mathbb{R}^{n*} \to V^{*}$
- 基底$W$が導く内積$<,>_{W}$
も断りなく用いる。
同型写像については特に、
$$ V \overset{\pi_{W}}{\cong} \mathbb{R}^{n} \overset{\phi}{\cong} \mathbb{R}^{n*} \overset{\pi^{*}_{W}}{\cong} V^{*} $$
となっている。
さらに、ベクトル空間の内積は実数となるものに限る。
計量テンソル
内積 -> 計量テンソル
$V$の元$x$と$y$の内積を考える。
$$ \begin{aligned} x &= a^{i}w_{i}\\ y &= b^{i}w_{i} \end{aligned} $$
となっている時、
$$ \begin{aligned} <x, y> &= <a^{i}w_{i}, b^{j}w_{j}> \\ &= a^{i}b^{j}<w_{i}, w_{j}> \end{aligned} $$
と変形できる。
ここで、$g_{ij} := <w_{i}, w_{j}>$によってテンソル$G = (g_{ij})_{ij}$を定めると、
$$ <x, y> = a^{i}b^{j}g_{ij} $$
となる。
ここで定義した計量テンソル$G$は、内積$<,>$に依存することに注意。つまり、ベクトル空間に対して計量テンソルが一意に定まるわけではない。
計量テンソル -> 内積
計量テンソル$G$が与えられた時、内積$<,>_{G}$を、
$$ <a^{i}w_{i}, b^{j}w_{j}>_{G} = a^{i}b^{i}g_{ij} $$
これを、計量テンソル$G$から導かれた内積ということにする。
双対空間との関係
$x \in V$について、写像$f_{x}: V \to \mathbb{R}$を、
$$ f_{x}(y) = <x, y> $$
で定める。すると、$f_{x}$は線型汎函数となるので、$f_{x} \in V^{*}$である。
$x \in V$を$V^{*}$に写す自然な写像$\theta: V \to V^{*}$は、
$$ \theta = \pi^{*-1}_{W} \circ \phi \circ \pi_{W} $$
と書ける。これは構成から明らかに同型写像である。
ここで、内積として$<,>_{W}$を考えると、
$$ \begin{aligned} \pi^{*-1}_{W} \circ \phi \circ \pi_{W}(a^{i}w_{i}) &= \pi^{*-1}_{W} \circ \phi(a^{i}e_{i}) \\ &= \pi^{*-1}_{W}(f) \\ &= f \circ \pi_{W} \\ &= g \\ where \ \forall i \ g(w_{i}) = a^{i} \end{aligned} $$
となるが、
$$ \begin{aligned} &\forall i, j \ \theta(w_{i})(w_{j}) = f_{w_{i}}(w_{j}) \\ \Rightarrow &\forall i \ \theta(w_{i}) = f_{w_{i}} \end{aligned} $$
より、
$$ \theta(x) = f_{x} $$
である。
